Перпендикулярные прямые в пространстве

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Определение перпендикулярных прямых на плоскости:

Вы уже знакомы с перпендикулярными прямыми на плоскости. Две пересекающиеся прямые называют перпендикулярными, если они образуют 4 прямых угла.

Определение перпендикулярных прямых в пространстве:

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Лемма:

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей,
то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Практикум

В тетраэдре ABCD BC перпендикулярна AD. Доказать, что AD перпендикулярна MN, если точки М и N – середины ребер AB и AC соответственно.
Практикум

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Определение:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

Теорема:

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости
Доказательство теоремы

Теорема:

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны
Доказательство теоремы

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Если прямая перпендикулярная к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Для того чтобы проверить перпендикулярность прямой к плоскости достаточно проверить перпендикулярность лишь к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Для доказательства рассмотрим прямую a, перпендикулярная к прямым p и q, лежащим в плоскости α и пересекающимся в точке О

Сначала рассмотрим случай, когда прямая a проходит через точку О. Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m. Если m проходит через точку О, то в качестве l возьмем саму m.
Отметим на прямой a точки A и B так, чтобы точка O была серединой отрезка AB.
Затем проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, q и l соответственно в точках P, Q и L.
Так как отрезок AO равен OB и прямая a перпендикулярна к прямым p и q, то p и q являются серединными перпендикулярами к отрезку AB. Поэтому отрезок AP равен BP и AQ равен BQ. Следовательно, треугольник APQ равен треугольнику BPQ по трем сторонам. Отсюда получаем, что угол APQ равен углу BPQ.
Треугольники APL и BPL равны по двум сторонам и углу между ними, так как отрезок AP равен BP, PL – общая сторона и угол APL равен углу BPL. Значит, отрезок AL равен BL. Значит, треугольник ABL – равнобедренный, а его медиана LO является и высотой, т.е. l перпендикулярна прямой a.
По лемме о перпендикулярности двух прямых к третьей прямой m будет перпендикулярна прямой a. Поэтому a перпендикулярна к любой прямой m плоскости α.

Иллюстрация

Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через точку O. Проведем через точку O прямую a₁, параллельную a. По лемме о перпендикулярности двух прямых к третьей, получим, что прямая a₁перпендикулярна прямым p и q. Поэтому по доказанному в первом случае a₁перпендикулярна плоскости α.
По теореме о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости a перпендикулярна к плоскости α

Иллюстрация

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Теорема:

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Доказательство теоремы

Доказательство.

Пусть дана плоскость α и точка М. Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.

Проведем прямую а в плоскости α. Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с₁, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с₁ перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с₁ параллельны. Но по построению прямые с и с₁пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Практикум

Точка D не принадлежит плоскости треугольника ABC. Точка D равноудалена от концов отрезка BC, точка А также равноудалена от концов отрезка BC. Докажите, что прямые ВС и АD перпендикулярны.
Практикум
Контрольные задания