Построение сечения
Определение:
Сечением поверхности геометрических тел называется - плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.
Иллюстрация
Иллюстрация
Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:
Многогранник и плоскость не имеют общих точек
Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:
Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:
Взаимное расположение многогранника и секущей плоскости:
Виды сечений:
- сечение параллельное плоскости основания,
- диагональное сечение,
- сечение, параллельное плоскости грани,
- произвольное сечение.
Фигуры, которые получаются в результате сечения:
- Треугольник;
- Четырехугольник;
- Пятиугольник;
- Шестиугольник.
Методы построения сечения:
1.Метод следов.
В общем случае плоскость сечения имеет общую прямую с плоскостью каждой грани многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает какую-либо грань называют следом секущей плоскости.
2.Метод внутреннего проектирования.
Этот метод удобен при построении сечений в тех случаях, когда почему-либо неудобно находить след секущей плоскости, например, след получается очень далеко от заданной фигуры. Используется метод параллельного проецирования.
3.Комбинированный метод.
При построении этим методом на каких-то этапах применяются приемы, изложенные в методе следов или методе внутреннего проецирования, а на других этапах применятся теоремы, изученные в разделе "Параллельность прямых и плоскостей".
1.Метод следов.
В общем случае плоскость сечения имеет общую прямую с плоскостью каждой грани многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает какую-либо грань называют следом секущей плоскости.
2.Метод внутреннего проектирования.
Этот метод удобен при построении сечений в тех случаях, когда почему-либо неудобно находить след секущей плоскости, например, след получается очень далеко от заданной фигуры. Используется метод параллельного проецирования.
3.Комбинированный метод.
При построении этим методом на каких-то этапах применяются приемы, изложенные в методе следов или методе внутреннего проецирования, а на других этапах применятся теоремы, изученные в разделе "Параллельность прямых и плоскостей".
Метод следов.
Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани.
Основные правила построения сечений методом следа:
1. Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
2. Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью (точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
3. Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.
То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.
Для тех, кто знаком с гомологией, удобно ее применять при нахождении образов точек нижнего основания фигуры F – изображения фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.
В дальнейшем будем допускать вольность речи и говорить «строим сечение» вместо «строим изображение сечения».
Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани.
Основные правила построения сечений методом следа:
1. Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
2. Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью (точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
3. Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.
То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.
Для тех, кто знаком с гомологией, удобно ее применять при нахождении образов точек нижнего основания фигуры F – изображения фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.
В дальнейшем будем допускать вольность речи и говорить «строим сечение» вместо «строим изображение сечения».
Задача:
Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже (рис.3)).
Решение.
Решение.
- Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.
- Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу.
- Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.
- Прямая S1S2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
- Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT.
- PQRTU – искомое сечение.
Построение сечения в программе
GeoGebra
GeoGebra
Задача. Построить сечение тетраэдра плоскостью PQR, если точка P лежит на прямой SA, точка Q лежит на прямой SB, точка R лежит на прямой SC.
Решение. Рассмотрим два случая. Случай 1. Пусть точка P принадлежит ребру SA.
1) Отметим с помощью инструмента «Точка»произвольные точки A, B, C, D. Щелкнем правой клавишей на точку D, выберем «Переименовать». Переименуем D на S и установим положение этой точки, как показано на рисунке 1.
2) С помощью инструмента «Отрезок по двум точкам» построим отрезки SA, SB, SC, AB, AC, BC.
3) Щелкнем правой клавишей мыши по отрезку AB и выбираем «Свойства» - «Стиль». Устанавливаем пунктирную линию.
4) Отметим на отрезках SA, SB, CS точки P, Q, R.
5) Инструментом «Прямая по двум точкам» построим прямую PQ.
6) Рассмотрим прямую PQ и точку R. Вопрос учащимся: Сколько плоскостей проходит через прямую PQ и точку R? Ответ обоснуйте. (Ответ.Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна).
7) Строим прямые PR и QR.
8) Выбираем инструмент «Многоугольник» и по очереди щелкнем по точкам PQRP.
9) Инструментом «Перемещать» меняем положение точек и наблюдаем за изменениями сечения.
10) Щелкнем по многоугольнику правой клавишей и выбираем «Свойства» - «Цвет». Заливаем многоугольник каким-нибудь цветом.
11) На панели объектов щелкнем по маркерам и скроем прямые.
Решение. Рассмотрим два случая. Случай 1. Пусть точка P принадлежит ребру SA.
1) Отметим с помощью инструмента «Точка»произвольные точки A, B, C, D. Щелкнем правой клавишей на точку D, выберем «Переименовать». Переименуем D на S и установим положение этой точки, как показано на рисунке 1.
2) С помощью инструмента «Отрезок по двум точкам» построим отрезки SA, SB, SC, AB, AC, BC.
3) Щелкнем правой клавишей мыши по отрезку AB и выбираем «Свойства» - «Стиль». Устанавливаем пунктирную линию.
4) Отметим на отрезках SA, SB, CS точки P, Q, R.
5) Инструментом «Прямая по двум точкам» построим прямую PQ.
6) Рассмотрим прямую PQ и точку R. Вопрос учащимся: Сколько плоскостей проходит через прямую PQ и точку R? Ответ обоснуйте. (Ответ.Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна).
7) Строим прямые PR и QR.
8) Выбираем инструмент «Многоугольник» и по очереди щелкнем по точкам PQRP.
9) Инструментом «Перемещать» меняем положение точек и наблюдаем за изменениями сечения.
10) Щелкнем по многоугольнику правой клавишей и выбираем «Свойства» - «Цвет». Заливаем многоугольник каким-нибудь цветом.
11) На панели объектов щелкнем по маркерам и скроем прямые.
Практикум
Задача: Построить сечение пирамиды плоскостью PQR, если точка P лежит на прямой SA, точка Q лежит на прямой SB, точка R лежит на прямой SC.
Случай, когда точка P лежит на прямой SA вне многоугольника.
Практикум
Случай, когда точка P лежит на прямой SA вне многоугольника.
Практикум
© All Right Reserved. My company Inc.
e-mail us: hello@company.cc
